إثبات أن عدد أويلر غير كسري

في الرياضيات، التمثيل بمتسلسلة لعدد أويلر e يأتي كما يلي:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\!$

اكتشف هذا العددَ عالمُ الرياضيات السويسري ياكوب برنولي في عام 1683. خمسون سنة بعد ذلك، برهن أويلر، والذي كان تلميذا لأخ ياكوب الأصغر يوهان برنولي، على أن e عدد غير جذري، أي أنه لا يمكن يكتب على شكل نسبةً بين عددين صحيحين.

برهان أويلر

كتب أويلر أول برهان على لا كسرية العدد e في عام 1737، ولكن النص لم ينشر إلا سبع سنوات بعد ذلك. كتب من أجل ذلك e كسرا مستمرا بسيطا.

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].$

برهان فورييه

البرهان الأكثر شهرة على لا كسرية العدد e هو البرهان الذي جاء به جوزيف فورييه. هو برهان بالخُلف، يعتمد على المتساوية التالية:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot$

$2=1+{\tfrac {1}{1!}}<e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}+{\tfrac {1}{3!}}+\cdots <1+\left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}}}+\cdots \right)=3.$

$x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).$

$x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.$

انظر أيضا

• عدد متسام بما في ذلك البرهان على أن e عدد متسام
• مبرهنة ليندمان-ويرستراس