تصلبي

يكون النظام الميكانيكي تصلبيًا (بالإنجليزية: Scleronomous)‏ إذا كانت معادلات القيود لا تحتوي على الزمن باعتباره متغير صريح. مثل هذه القيود تُسمى قيود تصلبية.

الاستخدام

في المجال ثلاثي الأبعاد، يتمتع الجزيء الذي لديه كتلة $m\,\!$، وسرعة $\mathbf {v} \,\!$ بالطاقة الحركية

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!.$

السرعة هي مشتق المركز مع الوقت ذي الصلة. استخدم قاعدة السلسلة لعدة متغيرات:

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!.$

وبالتالي،

$T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!.$

ومع إعادة ترتيب الأطراف بعناية،

$T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!:$

$T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!,$

$T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,$

$T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\,\!,$

حيث إن $T_{0}\,\!$, $T_{1}\,\!$ , $T_{2}\,\!$ هي على التوالي دوال متجانسة للدرجة 0 و1 و2 في السرعات المعممة. إذا كان هذا النظام تصلبيًا، لذا فإن الوضع لا يعتمد بشكل صريح على الوقت:

${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!.$

وبالتالي، فقط الطرف $T_{2}\,\!$ لا يتلاشى:

$T=T_{2}\,\!.$

الطاقة الحركية هي دالة متوافقة من الدرجة 2 في سرعات معممة.

مثال: البندول

بندول بسيط

كما هو مبين على اليسار، البندول هو نظام يتألف من ثقل ووتر. يرتبط الوتر بالطرف الأعلى من المحور وفي الطرف الأسفل يرتبط بالثقل. ولكونه غير قابل للتمديد، فإن طول الوتر ثابت. وبالتالي فإن هذا النظام هو تصلبي (scleronomous)؛ فهو يطيع القيد التصلبي

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!,$

حيث إن $(x,y)\,\!$ هو موضع الثقل و$L\,\!$ هو طول الوتر.

بندول بسيط مع نقطة محورية تتأرجح

خذ مثالاً أكثر تعقيدًا. ارجع إلى الشكل التالي على اليسار، وافترض أن الطرف العلوي من الوتر مثبت بنقطة محورية تخضع لحركة توافقية بسيطة

$x_{t}=x_{0}\cos \omega t\,\!,$

حيث إن $x_{0}\,\!$ هو المدى، $\omega \,\!$ هو التردد الزاوي، و$t\,\!$ هو الوقت.

وعلى الرغم من أن الطرف العلوي من الوتر غير مثبت، إلا أن طول هذا الوتر غير القابل للتمديد يُعتبر ثابتًا. والمسافة بين الطرف العلوي والثقل يجب أن تبقى كما هي. وبالتالي فإن هذا النظام هو رينومي (rheonomous)؛ فهو يطيع القيد الرينومي

${\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0\,\!.$

انظر أيضًا

• ميكانيكا لاغرانج
• النظام الهولونومي
• النظام غير الهولونومي
• النظام الرونومي