في الديناميكا الحرارية ، العَمَلِيَّة الكَظِيمَة [ 1] العَمَلِيَّة الكَظُومَة [ 2] الأديباتيكية [ 3] اللاتبادلية [ 4] بالإنجليزية : Adiabatic ) هو الإجراء الديناميكي الحراري التي لا يوجد فيها تبادل حراري بين المنظومة والوسط المحيط. أي أنه معزول حراريا .
V
T
α
=
constant
{\displaystyle VT^{\alpha }=\operatorname {constant} }
حيث T درجة الحرارة المطلقة .
يمكن كتابة هذه المعادلة أيضا بالصورة:
T
V
γ
−
1
=
constant
{\displaystyle TV^{\gamma -1}=\operatorname {constant} }
عدل
يقتضي تعريف العملية الأديباتية بأن الانتقال الحراري للنظام هو صفر،
Q
=
0
{\displaystyle Q=0}
لـالقانون الأول للديناميكا الحرارية :
(1)
d
U
+
δ
W
=
δ
Q
=
0
,
{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad dU+\delta W=\delta Q=0,}
حيث أن dU هي التغير في الطاقة الداخلية للنظام وδW هو الشغل المبذول بواسطة النظام.
يتم الشغل المبذول (δW ) على حساب الطاقة الداخلية U ، نظرا لعدم دخول حرارة إلى النظام من الوسط المحيط . يعرف «شغل الضغط-الحجم» δW للنظام بأنه :
(2)
δ
W
=
P
d
V
.
{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \delta W=P\,dV.}
لكن, P لاتبقى ثابتة أثناء العملية الكظومة وإنما تتغير مع تغير V .
لذلك يكون من الأفضل معرفة كيفية ارتباط dP وdV أثناء انجاز العملية الأديباتية.
تعطى الطاقة الداخلية لغاز مثالي بالعلاقة:
(3)
U
=
α
n
R
T
,
{\displaystyle {\text{(3)}}\qquad U=\alpha nRT,}
حيث R هو ثابت الغاز العام وn عدد المولات في النظام (ثابت).
بمفاضلة المعادلة (3) وباستعمال قانون الغاز المثالي ,
P
V
=
n
R
T
{\displaystyle PV=nRT}
(4)
d
U
=
α
n
R
d
T
=
α
d
(
P
V
)
=
α
(
P
d
V
+
V
d
P
)
.
{\displaystyle {\text{(4)}}\qquad dU=\alpha nR\,dT=\alpha \,d(PV)=\alpha (P\,dV+V\,dP).}
المعادلة (4) يعبر عنها غالبا
d
U
=
n
C
V
d
T
{\displaystyle dU=nC_{V}\,dT}
C
V
=
α
R
{\displaystyle C_{V}=\alpha R}
والان بتعويض المعادلات (2) و(4) في المعادلة (1) نحصل على
−
P
d
V
=
α
P
d
V
+
α
V
d
P
,
{\displaystyle -P\,dV=\alpha P\,dV+\alpha V\,dP,}
بالتبسيط:
−
(
α
+
1
)
P
d
V
=
α
V
d
P
,
{\displaystyle -(\alpha +1)P\,dV=\alpha V\,dP,}
وبقسمة كلا الطرفين على PV :
−
(
α
+
1
)
d
V
V
=
α
d
P
P
.
{\displaystyle -(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}.}
بعد مكاملة كلا الطرفين من
V
0
{\displaystyle V_{0}}
P
0
{\displaystyle P_{0}}
ln
(
P
P
0
)
=
−
α
+
1
α
ln
(
V
V
0
)
.
{\displaystyle \ln \left({P \over P_{0}}\right)={-{\alpha +1 \over \alpha }}\ln \left({V \over V_{0}}\right).}
برفع كلا الطرفين للأس,
(
P
P
0
)
=
(
V
V
0
)
−
α
+
1
α
,
{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }},}
وبعزل الإشارة السالبة لبيان أن
(
P
P
0
)
=
(
V
0
V
)
α
+
1
α
.
{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }.}
لذا,
(
P
P
0
)
(
V
V
0
)
α
+
1
α
=
1
{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }=1}
و
P
V
α
+
1
α
=
P
0
V
0
α
+
1
α
=
P
V
γ
=
constant
.
{\displaystyle PV^{\alpha +1 \over \alpha }=P_{0}V_{0}^{\alpha +1 \over \alpha }=PV^{\gamma }=\operatorname {constant} .}
عدل
يكون التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما، مقاسا من الحالة 1 إلى الحالة 2 مساويا لـ:
(1)
Δ
U
=
α
R
n
2
T
2
−
α
R
n
1
T
1
=
α
R
(
n
2
T
2
−
n
1
T
1
)
{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \Delta U=\alpha Rn_{2}T_{2}-\alpha Rn_{1}T_{1}=\alpha R(n_{2}T_{2}-n_{1}T_{1})}
في الوقت يكون الشغل المبذول بواسطة التغير في الضغط الحجمي نتيجة لهذه العملية مساويا لـ:
(2)
W
=
∫
V
1
V
2
P
d
V
{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV}
بما أننا بصدد عملية كظومة، ينبغي أن تكون المعادلة التالية صحيحة
(3)
Δ
U
+
W
=
0
{\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \Delta U+W=0}
من الاشتقاق السابق,
(4)
P
V
γ
=
constant
=
P
1
V
1
γ
{\displaystyle {\text{(4)}}\qquad PV^{\gamma }={\text{constant}}=P_{1}V_{1}^{\gamma }}
بإعادة الترتيب (4) نحصل على
P
=
P
1
(
V
1
V
)
γ
{\displaystyle P=P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }}
بالتعويض في (2)
W
=
∫
V
1
V
2
P
1
(
V
1
V
)
γ
d
V
{\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\,dV}
بالتكامل,
W
=
P
1
V
1
γ
V
2
1
−
γ
−
V
1
1
−
γ
1
−
γ
{\displaystyle W=P_{1}V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}}
بالتعويض
γ
=
α
+
1
α
{\displaystyle \gamma ={\frac {\alpha +1}{\alpha }}}
W
=
−
α
P
1
V
1
γ
(
V
2
1
−
γ
−
V
1
1
−
γ
)
{\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}^{\gamma }\left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)}
باعتبار,
W
=
−
α
P
1
V
1
(
(
V
2
V
1
)
1
−
γ
−
1
)
{\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}
باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما هو الحال عادة في الحالات العملية)،
W
=
−
α
n
R
T
1
(
(
V
2
V
1
)
1
−
γ
−
1
)
{\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}
من الصيغة المتصلة,
P
2
P
1
=
(
V
2
V
1
)
−
γ
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }}
أو,
(
P
2
P
1
)
−
1
γ
=
V
2
V
1
{\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-1 \over \gamma }={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}
وبالتعويض في التعبير السابق
W
{\displaystyle W}
W
=
−
α
n
R
T
1
(
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
−
1
)
{\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
بتعويض هذا التعبير و(1) في (3) نحصل على
α
n
R
(
T
2
−
T
1
)
=
α
n
R
T
1
(
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
−
1
)
{\displaystyle \alpha nR(T_{2}-T_{1})=\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
بالتبسيط,
T
2
−
T
1
=
T
1
(
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
−
1
)
{\displaystyle T_{2}-T_{1}=T_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
بالتبسيط,
T
2
T
1
−
1
=
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
−
1
{\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1}
بالتبسيط,
T
2
=
T
1
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
{\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}
