قابلية التحكم لجرايمان

في نظرية التحكم، تستخدم قابلية التحكم لجرايمان في تحديد هل النظام الخطي قابل للتحكم أم لا .
لأي منظومة رصينة (نظام مستقل زمنيًا)

${\dot {x}}=Ax+Bu$

وإذا كانت القيم الذاتية ل $A$ لها قيمة سالبة حقيقة، فإن الحل الفريد $W_{c}$ لمعادلة ليابونوف

$AW_{c}+W_{c}A^{T}=-BB^{T}$

موجبًا إذا كان $(A,B)$ قابلين للتحكم.
ويمكن التعبير عن قابلية التحكم لجريمان بالرمز $W_{c}$ وتكون المعادلة بالشكل التالي:

$W_{c}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }BB^{T}e^{A^{T}\tau }\;d\tau$

وتستخدم مصفوفة أخرى لتحديد قابلية التحكم وهي:

$W_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}e^{A(t_{0}-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t_{0}-\tau )}\;d\tau$

ويكون $(A,B)$ قابلين للتحكم إذا كانت المصفوفة $W_{c}(t_{0},t_{1})$ مصفوفة قابلة للعكس لأي قيم$t_{1}>t_{0}$ .
وللنظام غير المستقل زمنيًا:

${\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$,

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

يمكن التحكم فيه على الفترة $[t_{0},t_{1}]$ . بشرط أن تكون مصوفة جرايمان $W_{c}(t_{0},t_{1})$ مصفوفة قابلة للعكس:

$W_{c}(t_{0},t_{1})=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )\;d\tau$

انظر أيضًا

• معادلة جرايمان
• قابلية ملاحظة لجرايمان

وصلات خارجية

• Mathematica function to compute the controllability Gramian