مبرهنة منصف الزاوية

في الهندسة الرياضية، مبرهنة أو نظرية منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.^[1] وتنص على أنه في المثلث ABC، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:

${\frac {BD}{DC}}={\frac {BA}{AC}}$

تعميم المبرهنة

مبرهنة مُنصّف الزّاوية هي حالة خاصّة من القانون النّاص على أنه: في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى $\alpha$ و $\beta$ فإن:

${\frac {BD}{DC}}={\frac {BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }}$

وعندما $\beta =\alpha$ تصبح مبرهنة منصف الزاوية.

البراهين

البرهان الأول

المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

${\frac {1}{2}}AE.DC={\frac {1}{2}}AD.AC\sin \alpha =$

2- مساحة المثلث ADB

${\frac {1}{2}}AE.BD={\frac {1}{2}}AD.BA\sin \beta =$

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

${\frac {BD}{DC}}={\frac {BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }}$ و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن $\beta =\alpha$ .

البرهان الثاني

AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

${\frac {AC}{\sin {ADC}}}={\frac {DC}{\sin \alpha }}$ $\sin {ADC}={\frac {AC\sin \alpha }{DC}}$

في المثلث ADB:

${\frac {BA}{\sin {ADB}}}={\frac {DB}{\sin \beta }}$ $\sin {ADB}={\frac {BA\sin \beta }{DB}}$ $\angle {ADC}=180-\angle {ADB}\because$ و (Sin x = Sin (180-x. $\sin {ADB}=\sin {ADC}\Leftarrow$ ${\frac {BA\sin \beta }{DB}}={\frac {AC\sin \alpha }{DC}}\Leftarrow$ ${\frac {BD}{DC}}={\frac {BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }}\Leftarrow$ و إذا كانت $\beta =\alpha$ سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.