معادلات كيرشوف

في ديناميكا الموائع معادلات كيرشهوف تصف حركة جسم جاسئ في مائع مثالي .

${\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}$

${\vec {\omega }}$ و ${\vec {v}}$ السرعة الزاوية والخطية على محور ${\vec {x}}$ , زخم موتّر العطالة ${\tilde {I}}$ , $m$ الكتلة , ${\hat {n}}$ وحدة طبيعية عند نقطة على سطح الجسم ${\vec {x}}$ , $p$ الضغط , ${\vec {Q}}_{h}$ عزم الدوران ${\vec {F}}_{h}$ القوة .

إذا كان الجسم مغمور كليا

${d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},$

$L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).$

تكون القراءة الأولى للتفاضل

$J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right)$.

المراجع

• Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877.
• Lamb, H., Hydrodynamics. Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.