معادلة أبيل

معادلة أبيل هي معادلة دالية سميت نسبة لعالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل يمكن كتابتها بالشكل التالي:

$f(h(x))=h(x+1)$

أو الشكل التالي:

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$

ويتم التحكم في عدد مرات تكرار الدالة f.

المعادلة المكافئة

هاتان المعادلتان متكافئتان. بفرض أن α هي دالة عكسية، يمكن كتابه المعادلة الثانية بالصورة التالية:

$\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.$

وبأخذ x = α⁻¹(y) يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي

$f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.$

للدالة f(x)، بفرض أنها دالة معرفة يكون المطلوب هو حل المعادلة الدالية للدالة α⁻¹≡h، بحيث تحقق متطلبات أخرى مثل α⁻¹(0) = 1.

عند حدوث تغير كالتالي s^α(x) = Ψ(x)، لمعامل حقيقي s، تعمل معادلة أبيل كمعادلة شرودنجر Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

أما عند حدوث تغير كالتالي F(x) = exp(s^α(x)) تعمل المعادلة كمعادلة بوتشر F(f(x)) = F(x)^s..

تعتبر معادلة أبيل حالة خاصة لمعادلات التحويل:

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,$

$\omega (x,1)=f(x)$

$\omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)$.     (لاحظ أن ω(x,0) = x.

التاريخ

قديما، كان الشكل العام للمعادلة يتعامل مع متغير واحد وتقدم تحليل خاص لها.

في حالة دالة التحويل الخطي، تكون الحلول حلول تقريبة.

حالة خاصة

تعتبر معادلة التكرار الأسي الرابع السالب هي حالة خاصة من حالات معادلة أبيل حيث f = exp..

في حالة التكرار يتم كتابة المعادلة بالصورة التالية:

$\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,$

ومنها

$\alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.$

الحلول

• الحل الرسمي: حل وحيد.
• الحلول التحليلية: حلول تقريبية.

انظر أيضا

• الدوال والثوابت الرياضية
• معادلة دالية
• معادلة شرونجر